RAZONES Y PROPORCIONES

“No hay belleza sin unas proporciones regulares”. (Platón, Timeo, 87c)

Para ser exactos la frase de Platón dice: “Todo lo que es bueno es bello, y la belleza no se da sin unas relaciones o proporciones regulares.” También en Filebo 64c dice: “La medida (metron) y la proporción (symmetría) realizan en todas partes la belleza y la perfección”

Una razón entre dos cantidades es una relación expresada mediante un cociente o fracción, por ejemplo; si un auto móvil recorre 12 km en 5 minutos, la razón entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido es 12/5. En nuestra vida cotidiana existen muchas cantidades que se relacionan entre si y cuya relación se puede expresar por medio de razones.

Una proporción es una igualdad entre 2 razones del mismo tipo, matemáticamente cualquier equivalencia de fracciones, representa una proporción:

Las proporciones son muy importantes en matemáticas ya que permiten resolver un sin número de situaciones en los que se desconoce el valor de uno de los cuatro elementos de la proporción.

En tales casos el valor de x se puede encontrar haciendo uso de la regla de tres, para ello basta resolver uno de los productos cruzados que aparece en la proporción y dividir entre el elemento sobrante.

Una de las formas más habituales que implican el uso de los conceptos anteriores es en los fenómenos de variación proporcional directa, en tales casos una situación problemática puede representarse mediante una tabla de variación proporcional directa.

En estos casos también es posible encontrar el valor desconocido en función de los otros tres.

Algunos de los problemas de variación proporcional directa más comunes que se pueden resolver haciendo uso de regla de tres son:

· Problemas de porcentajes

· Escalas

· Reparto proporcional

· Gasto proporcional

· Costo proporcional

· Consumo proporcional

Para resolver problemas de variación proporcional, se deben colocar los datos en una tabla, diferenciando para cada columna un tipo de cantidad y representando el valor desconocido con la letra x para después resolver por regla de tres.

Ejemplo 1.

Don José percibía un sueldo de 3800 pesos quincenales y recibirá un aumento del 12% ¿A cuánto equivale esta cantidad?

Como podemos ver Don José tendrá un aumento de $456 en su salario.

ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes problemas de variación proporcional directa.

A) Un par de zapatos tenía un costo de $320 si ahora se desea ofertar en $250 ¿Qué porcentaje deberá aparecer en la etiqueta?

B) En un examen de matemáticas que consta de 40 reactivos que equivalen a 6.0 puntos de calificación, Ana saco 28 aciertos. ¿Qué calificación le corresponde?

C) Si se pone a llenar una cubeta de ocho litros en la llave de agua de un estacionamiento, esta tarda en llenarse 3 minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse un bote de 20 litros?

D) Miguel compro 5 libretas en la papelería de la esquina y le cobraron 38 pesos, Si su hermana necesita 7 libretas iguales a las de miguel ¿Cuánto deberá pagar por ellas?

E) El tío rico pidió a sus sobrinos Hugo, Paco y Luis que podaran el pasto del jardín y les daría dinero. Hugo trabajo durante 2 horas, Paco 4 y Luis 5 horas. Si al final los recompenso con $540. ¿Cómo deben de repartirse el dinero?

VARIACION INVERSA

La variación directa e inversa son dos caras de la misma moneda, ya que las siguientes relaciones son equivalentes:

y = kx equivale a x = y/k

Podemos expresar estas relaciones mediante tablas:

La forma en la que podemos diferenciar la variación inversa es que mientras los valores de una columna aumentan los de la otra disminuyen.

Para resolver un problema de variación inversa se utiliza regla de tres con productos directos.

Algunos de los problemas que se pueden resolver con este tipo de variación son los siguientes:

Ejemplo 1:

Con 1 costal de maíz molido se puede alimentar a 30 pollos durante 15 días, si se compran 12 pollos más ¿Cuánto les durara el costal de maíz?

Ejemplo 2

Para llenar una alberca usualmente se abren 8 llaves y tarda 120 minutos en llenarse, si se ha descompuesto una de las llaves ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse?

ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes problemas:

a) Para terminar un lote de 120 pantalones en 8 horas se requiere el trabajo de 30 costureras, si a causa de la pandemia el número de costureras se ha recortado a 18 ¿En cuántas horas podrán terminar un lote de 120 pantalones?

b) Para comprar un balón de fut 9 compañeros de escuela debían cooperar 12 pesos, si de pronto llegan 2 compañeros más ¿Cuánto deben cooperar ahora?

c) Para empujar un camión entre 5 personas cada una debe aplicar en promedio una fuerza de 320N, si se pide ayuda a dos personas más ¿Cuál será la fuerza promedio que debe aplicar cada una?