SEMEJANZA DE TRIANGULOS

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Congruencia de triángulos

Definición: Dos triángulos ABC y A´B´C´ Son congruentes, si sus tres lados correspondientes tienen la misma medida y en consecuencia sus ángulos correspondientes son iguales(Congruentes) entre sí.

Para garantizar la congruencia de triángulos se deben utilizar los siguientes criterios:

Primer teorema de congruencia (Criterio LAL): Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, son iguales a dos de los lados y el ángulo comprendido entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

Ejemplo:

Segundo teorema de congruencia (Criterio ALA): Si uno de los lados de un triángulo y sus dos ángulos adyacentes son iguales a uno de los lados de otro triángulo y sus dos ángulos adyacentes, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

Ejemplo:

Tercer teorema de congruencia (Criterio LLL): Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

Ejemplo:

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales y en consecuencia sus ángulos son congruentes.

Al igual que con la congruencia de triángulos existen algunos criterios(Teoremas) para garantizar la semejanza de triángulos criterios.

Primer criterio de semejanza (A,A–A): Dos triángulos son semejantes si por lo menos dos ángulos de uno de ellos son congruentes con dos ángulos del otro, resultando necesariamente congruentes entre si los ángulos restantes.

Segundo criterio de semejanza (L,A,L): Dos triángulos son semejantes, si un ángulo de uno de ellos es igual a un ángulo del otro y además los lados adyacentes a ese ángulo que se correspondan son proporcionales entre sí.

Tercer criterio de semejanza (L,L,L) Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno son proporcionales uno a uno a los tres lados del otro.

Cuarto criterio de semejanza (A,L,A) Dos triángulos son semejantes si uno de los tres lados de un triángulo es proporcional a uno a uno a los tres lados del otro triángulo y además los ángulos en sus extremos de uno de esos lados son congruentes con los ángulos correspondientes en los extremos del otro.

Los criterios anteriores, junto con la definición de semejanza permiten el uso de la regla de tres, herramienta que nos será muy útil para resolver una gran cantidad de situaciones relacionadas.

EJEMPLO 1:

A cierta hora del día Ana observa que la sombra de Roberto mide 72cm, y la sombra del árbol que se encuentra en el jardín mide 6 metros. Si Ana sabe que la altura de Roberto es de 1.56 metros, con este dato podría conocer ¿Cuál es la altura del árbol?

En este caso lo más recomendable es realizar un esquema de apoyo procurando colocar los elementos que permitan argumentar la semejanza de triángulos y el uso de proporcionalidad para poder aplicar la regla de tres y dar soluciòn al problema.