EL TEOREMA DE PITAGORAS

"La geometría es la ciencia que estudia el espacio, desde su dimensión cero(el punto) hasta dimensiones infinitas ".

Si tomamos un triángulo rectángulo cualquiera y trazamos la altura correspondiente al lado mayor, este quedara dividido en dos triángulos semejantes a dicho triángulo.

Apoyados en dicha semejanza, se pueden plantear las siguientes proporciones:

Sumando ambas expresiones tenemos:

Como el lado c = x + y tenemos:

A esta última expresión se le conoce como el teorema de Pitágoras, e implica que: "el área de los cuadrados construidos sobre los catetos (Lados menores) equivale al cuadrado de la hipotenusa (Lado mayor)".

Este teorema es particularmente importante ya que permite resolver diversas situaciones dentro del ámbito matemático y la vida cotidiana.

De manera particular es posible hallar el valor de alguno de los lados de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos.

Ejemplo 1: Calcula el valor del cateto faltante

Primero escribimos el teorema de Pitágoras para sustituir, luego sustituimos valores y despejamos la variable.

Ejemplo 2. Calcula el valor de la hipotenusa:

Ejemplo 3: Encuentra el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 24 cm y el lado desigual 14cm.

En este caso no es posible aplicar Pitágoras directamente, porque el triángulo no es rectángulo; pero si trazamos la altura podemos aplicarlo en alguno de los triángulos resultantes.

Conocida la altura, el área queda determinada por la fórmula:

Ejemplo 4. Un bombero coloca una escalera de 18m de largo, contra la pared de un edificio en llamas para rescatar a una persona que se encuentra en una ventana. Si el pie de la escalera se encuentra a 7 m de la pared. ¿A que altura se encuentra la ventana donde esta la persona?

Puedes encontrar otros ejemplos y ejercicios en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=EhboD0hP_jU&t=143s

ACTIVIDADES.

A) Encuentra el valor faltante en los siguientes triángulos.

B) Resuelve los siguientes problemas:

1.- Se desea sostener una carpa con una varilla a la entrada, como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser la longitud de la varilla?

2.- A cierta hora del día, un árbol de 12 m de altura proyecta una sombra de 16 m, como se ve en la Figura ¿Cuál será la distancia desde la sombra de la copa en el suelo hasta la copa del árbol?

3.- Calcula el volumen de un cono sabiendo que la longitud de su generatriz mide 25 cm y el radio de su base es igual a 15 cm.

4.- Calcula el volumen del siguiente prisma:

5.- ¿Cuál es el àrea del siguiente círculo?

RETO MATEMATICO. Se tiene una circunferencia de 10 cm de diámetro. ¿Cuál es el área del mayor cuadrado que cabe dentro de ella?

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Congruencia de triángulos

Definición: Dos triángulos ABC y A´B´C´ Son congruentes, si sus tres lados correspondientes tienen la misma medida y en consecuencia sus ángulos correspondientes son iguales(Congruentes) entre sí.

Para garantizar la congruencia de triángulos se deben utilizar los siguientes criterios:

Primer teorema de congruencia (Criterio LAL): Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, son iguales a dos de los lados y el ángulo comprendido entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

Ejemplo:

Segundo teorema de congruencia (Criterio ALA): Si uno de los lados de un triángulo y sus dos ángulos adyacentes son iguales a uno de los lados de otro triángulo y sus dos ángulos adyacentes, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

Ejemplo:

Tercer teorema de congruencia (Criterio LLL): Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

Ejemplo:

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales y en consecuencia sus ángulos son congruentes.

Al igual que con la congruencia de triángulos existen algunos criterios(Teoremas) para garantizar la semejanza de triángulos criterios.

Primer criterio de semejanza (A,A–A): Dos triángulos son semejantes si por lo menos dos ángulos de uno de ellos son congruentes con dos ángulos del otro, resultando necesariamente congruentes entre si los ángulos restantes.

Segundo criterio de semejanza (L,A,L): Dos triángulos son semejantes, si un ángulo de uno de ellos es igual a un ángulo del otro y además los lados adyacentes a ese ángulo que se correspondan son proporcionales entre sí.

Tercer criterio de semejanza (L,L,L) Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno son proporcionales uno a uno a los tres lados del otro.

Cuarto criterio de semejanza (A,L,A) Dos triángulos son semejantes si uno de los tres lados de un triángulo es proporcional a uno a uno a los tres lados del otro triángulo y además los ángulos en sus extremos de uno de esos lados son congruentes con los ángulos correspondientes en los extremos del otro.

Los criterios anteriores, junto con la definición de semejanza permiten el uso de la regla de tres, herramienta que nos será muy útil para resolver una gran cantidad de situaciones relacionadas.

EJEMPLO 1:

A cierta hora del día Ana observa que la sombra de Roberto mide 72cm, y la sombra del árbol que se encuentra en el jardín mide 6 metros. Si Ana sabe que la altura de Roberto es de 1.56 metros, con este dato podría conocer ¿Cuál es la altura del árbol?

En este caso lo más recomendable es realizar un esquema de apoyo procurando colocar los elementos que permitan argumentar la semejanza de triángulos y el uso de proporcionalidad para poder aplicar la regla de tres y dar soluciòn al problema.

RESPUESTA: la altura del árbol es de 13 m.

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.-Sabiendo que Patricia tiene una altura de 158 cm, halla la altura de la farola en la siguiente figura.

2.- Con los datos que aparecen en la figura calcula la altura de la torre de la iglesia.

3.- El radio del cono mayor que se observa en la siguiente figura mide:

NUMEROS CON SIGNO

Jaimito ¿cómo te ha salido el examen de Matemáticas?

- Pues más o menos como a los del Polo Norte

- ¿Cómo a los del Polo Norte? ¿Qué quieres decir?

- De cero para bajo mamá, de cero para bajo!

Los números con signo, es el nombre que se le da a las cantidades que son consideradas como positivas(+) o negativas(-); de esta manera podemos considerar los siguientes números con signo.

-12, +23, -8.24, +6/5 etc.

En el caso de las cantidades positivas no es forzoso que se coloque el signo (+)

Para comprender los números con signo es importante aprender a ubicarlos en la recta numérica:

Para cada número positivo, existe su “simétrico” que es el número negativo que se encuentra en el lado opuesto de la recta a la misma distancia del cero.

SUMA Y RESTA DE NUMEROS CON SIGNO:

Para sumar y restar números con signo debemos considerar dos casos:

Caso 1: Entre los números solo existe un solo signo de operación. En este caso se utilizará una analogía y las siguientes reglas:

1.- Los números positivos son buenos y los negativos son malos.

2.- Un número positivo se anula con un negativo.

3.- Dos números positivo se juntan (Se suman).

4.- Dos números negativos también se juntan para formar otro nÚmero negativo.

5.- Sumar y restar números equivale a confrontarlos para ver quién gana.

6.- Ganaran los que haya en mayor número e impondrán su signo al resultado.

7.- El valor numérico del resultado se obtendrá a la pregunta ¿Con cuántos gana?

9.- En caso de empate el resultado será cero.

Ejemplos:

A) -12 + 5 = -7

B) + 8 -10 = -2

C) – 6 - 9 = -15

D) – 34 + 34 = 0

E) -13 +8 -12 + 7 = -10

ACTIVIDAD:

Resuelve las siguientes operaciones:

a) - 9 - 5 =

b) -13 + 20 =

c) -18 + 13 =

d) +19 – 19 =

e) -14 -9 -21 =

f) - 8 +11 -23 +15 =

g) -6 +2 -5 + 9 =

h) – 369 + 235 =

i) +42 -54 + 37 =

j) – 280 + 350 – 72 =

Caso2: Entre los números existen dos signos de operación. En este otro caso se utilizarán las siguientes leyes para reducir a un solo signo y proceder como en el caso anterior.

LEYES PARA LA MULTIPLICACION DE LOS SIGNOS:

Primera ley: ( + )( + ) = ( + ) Positivo por positivo da positivo

Segunda ley: ( + )( - ) = ( - ) Positivo por negativo da negativo

Tercera ley: ( - )( + ) = ( - ) Negativo por positivo da negativo

Cuarta ley: ( - )( - ) = ( + ) Negativo por negativo da positivo

Procedimiento: Primero se identifican los dobles signos de operación, después se aplican las leyes reduciendo a un solo signo, volviendo a escribir la operación para después proceder como en el primer caso:

Ejemplos:

a) -12 + ( - 5) = - 12 - 5 = -17

b) +26 - ( -34)= + 26 + 34 = +60

c) - 23 + ( -5) – (-8)= -23 - 5 + 8 = -20

d) 5 + ( - 8) - (-3) = 5 - 8 + 3 = 0

e) - 27 - (-12) + (-34)= -27 + 12 - 34 = - 49

ACTIVIDAD:

1.- Resuelve las siguientes operaciones:

A) -16 + (-17)=

B) 18 – (-24) =

C) 22 + (-35)=

D) -15 -(-18) + (-4) =

E) - 49 + (-1) – (- 50) =

F) 37 – (-28) + 72 =

G) – 6 + (-13) – (-17) =

H) 25 – (-8) + 7 – (-23) =

2.- Resuelve los siguientes problemas:

A) Este fin de semana el clima de la ciudad de Nueva York, fue muy contrastante, el Sábado hizo mucho calor y el termómetro llego a marcar 23ºC, por el contrario, él día domingo marco – 5ºC; debido a la entrada de una tormenta invernal. ¿Cuál es el promedio de ambas temperaturas?

B)En el poblado donde vivo se registró una temperatura de 12ºC el domingo a mediodía; durante las siguientes 18 horas la temperatura bajo a - 15º ¿Cuál fue la diferencia entre ambas temperaturas?